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李儒水、邹生书——用根的分布解一道椭圆离心率取值范围高考题

李儒水、邹生书 邹生书数学 2022-07-17

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邹生书,男,1962年12月出生,中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。


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用根的分布解一道椭圆离心率取值范围高考题

湖北省阳新县高级中学      李儒水       邹生书

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的弦长(用a,k表示);
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围。
      这是2016年高考浙江卷理科第19题,本题是直线与椭圆、椭圆与圆的位置关系的综合题,主要考查分析问题和解决问题的能力,考查化归转化思想以及运算求解的能力等。1问联立直线与椭圆方程,利用弦长公式求解即可,较为容易。2小问涉及圆与椭圆公共点个数以及任意性问题,难点在于将问题转化。至多有3个公共点情形复杂,正难则反,考察圆与椭圆有4个公共点的情形,从而得到解决问题的突破口和切入点。下面我们给出与参考答案不同的解法与大家交流分享。
      解析:(1)略。2)因为圆与椭圆至多有4个公共点,所以问题“若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点”的否定是” 存在以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆有4个公共点”由于至多有3个公共点的情形较为复杂,正难则反,于是考察圆与椭圆有4个公共点的情形。


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晚  秋


寒露重重败菊黄,人间已到晚秋凉。

不知身是红尘客,一缕情丝梦里藏。


      人生最长久拥有,其实就是珍惜。深沉的爱,于无声处感受,浓厚的情,于无形中领悟,越是平凡的陪伴,越温暖,越是简单的相处,越长远。一直在守着你的人,才是难得的一腔深情。知缘惜缘才得真缘,将心比心才有知心。眼中一直的在乎,才最温暖;心里始终的包容,才最真情。


(以上诗文由汪跃中老先生提供)

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